7の倍数判定

hiroyukikojimaの日記で「7の倍数」の判定法が書かれていたので証明してみた。ついでに3の判定方法との違いや百の位、千の位を使う方法についても書いてみた。

　x ＝ 10a+b
とする。aは整数、bは1桁の正の整数か0とする。

　x ≡ 10a+b (mod 7)　　　(1)　　　自明

「y ≡ z (mod 7)」とは「7で割った余りが両辺で同じ」の意。

　2x ≡ 20a+2b (mod 7)　　　(2)　　　(1)の両辺を2倍
　21a ≡ 0 (mod 7)　　　(3)　　　21は7の倍数
　0 ≡ 21a (mod 7)　　　(3')　　　左辺と右辺入れ替え
　-2x ≡ a-2b (mod 7)　　　(4)　　　(3')-(2)

よって
　a-2b ≡ 0 (mod 7) ならば x ≡ 0 (mod 7)

ただし、-2倍されているので余りの値は変化する。

3の倍数判定の場合

　x ＝ a+10b+100c+1000d+･･･
とする。a,b,c,d,･･･は1桁の正の整数とする。

　9b ≡ 0 (mod 3)
　99c ≡ 0 (mod 3)
　999d ≡ 0 (mod 3)
　　…
各式を定義式から引いて
　x ≡ a+b+c+d+… (mod 3)

よってこちらは余りも一致する。因みにこれは(mod 3)を(mod 9)に置き換えてもそのまま成り立つ。

7の倍数で千の位を使う手法は
1001a ≡ 0 (mod 7)
を利用。

98a ≡ 0 (mod 7)
で百の位を使う方法も考えられる。

この様に「mod」の表記を使うと系統的に簡単かつ網羅的に調べられる。

tex記法は使ったことが無い。

追記：話題を「n進数表記でのkの倍数判定」に拡張している方がいらっしゃった。Marriage Theorem 新居